（《高中数学培优笔记》第一章习题5）已知 $a,b,c>0$，求 $B=\max(x,\frac1y)+\max(y,\frac2z)+\max(z,\frac 3x)$ 的最小值。

这道题书上的答案大致意思如下：

注意到 $B \ge x+\frac2z+\frac{2z}5+\frac9{5x}\ge\frac6{\sqrt5}+\frac4{\sqrt5}\ge2\sqrt5$，并且在 $x=\frac3{\sqrt5},y=\frac2{\sqrt5},z=\sqrt5$ 的时候可以取到等于。那么最小值为 $2\sqrt5$。

难点在于系数配凑，这里给出我的理解。

首先，当 $B$ 取到最小值的时候，一定有一个 $\max$ 中的两个参数大小相等，这一点可以使用反证法得到：假设 $B=x+y+z$ 并且 $x>\frac1y,y>\frac2z,z>\frac3x$，我们只需要缩小 $y$ 就可以取到更小的 $B$，当取 $\max$ 中的其他值的时候同理可证。

于是分情况讨论，以 $z=\frac3x$ 为例，由最大值的放缩有

$$\begin{aligned} B&=\max(x,\frac1y)+\max(y,\frac2z)+\lambda z+(1-\lambda)\frac3x\\ &\ge x+\frac2z+\lambda z+(1-\lambda)\frac3x\\ &=x+(1-\lambda)\frac3x+\frac2z+\lambda z\\ &\ge 2\sqrt{3(1-\lambda)}+2\sqrt{2\lambda}\\ &\le\sqrt{(12+8)(1-\lambda+\lambda)}(\text{柯西不等式})\\ &=2\sqrt5 \end{aligned}$$

由均值不等式得到 $x=\sqrt{3(1-\lambda)},z=\sqrt{2\lambda}$，并且由 $\max$ 的取等条件可以得到 $\frac1y<x,y<\frac2z$，代入可以得到

$$\frac1{\sqrt{3(1-\lambda)}}<y<\frac2{\sqrt{2\lambda}}$$

最后化简得 $\lambda<\frac67$，故成立。但是若以 $x=\frac1y$ 或者 $y=\frac2z$ 为条件，就会得到 $\lambda$ 不存在。