已知 $\triangle ABC$，求证，对平面内任意一点 $P$，有：$PA^2+PB^2+PC^2\ge GA^2+GB^2+GC^2$（$G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心）。

也是《高中数学培优笔记》上的例题，不过如果用向量证明的话会更加简单（书上是在三角形章节讲的该题，所以没有采用向量解法）。

首先，容易证明 $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0$。于是有 $\overrightarrow{PG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=0$，展开可以得到 $AG\cos\angle AGP+BG\cos\angle BGP+CG\cos\angle CGP=0$。

由余弦定理，有 $XP^2=XG^2+PG^2-2XG\times PG \cos\angle XGP(X=A,B,C)$。

将三个方程相加得

$$AP^2+BP^2+CP^2=AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2-2PG(AG\cos\angle AGP+BG\cos\angle BGP+CG\cos\angle CGP)$$

于是 $AP^2+BP^2+CP^2=AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2\ge AG^2+BG^2+CG^2$。