题面
- (1) 已知 $a \geq \frac{1}{2}$，函数 $f(x) = (1 - ax)(e^x - 1) - x$。证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq 0$；
(2) 设函数 $g(x) = \ln(ex)$ 与 $h(x) = e^{x-1}$ 的图象分别为 $C_1$, $C_2$。点 $A_n(a_n, \ln(ea_n))$ 在 $C_1$ 上，且 $a_n < 1$，$C_1$ 在点 $A_n$ 处的切线交 $C_2$ 于点 $B_n(b_n, e^{b_n - 1})$，$b_n < 1$。$C_2$ 在点 $B_n$ 处的切线交 $C_1$ 于 $A_{n+1}$，由此构造出点列 $A_n$, $B_n$ ($n \in \mathbb{N}^*$)。已知 $A_1\left(\frac{1}{2}, \ln \frac{e}{2}\right)$。
(i) 证明：$a_{n+1} > a_n$；
(ii) 求 $\left[\sum_{i=1}^{n} a_i\right]$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
引入
这道题第二三问的常规做法在 B 站等地方很容易找到，此处介绍另一种做法（不依靠第一问的结果）。
注意到题目的两个函数互为反函数，就是说两条曲线形状相同，经过翻转与旋转可以由其中一条得到另一条，于是类比参数方程的思想，也就是利用一些变量表示某一个点在曲线上的位置，其他一些变量表示曲线在坐标系的位置的思想，我们可以用这种方式来设点。
设 $A_n(a,\ln a+1),B_n(\ln b+1,b),A_{n+1}(c,\ln c+1)$，由于 $e^{(\ln y+1)-1}=y$，所以 $B_n$ 用这种方式表示是合法的。
于是列出两个切线方程
$$\frac{b-\ln a-1}{\ln b+1-a}=\frac 1a\\ \frac{b-\ln c-1}{\ln b+1-c}=b$$
稍作变换可得
$$\frac{b-\ln a-1}{\ln b+1-a}=\frac 1a\\ \frac{c-\ln b-1}{\ln c+1-b}=\frac 1b$$
再变换为
$$ab-a\ln a-\ln b-1=0\\ bc-b\ln b-\ln c-1=0$$
不妨设 $f(x,y)=xy-x\ln x-\ln y-1$，那么两个方程可以表示为 $f(a,b)=0$ 与 $f(b,c)=0$。不妨设 $F(t)=xt-x\ln x-\ln t-1$，且 $t\in [\frac 12,1]$，那么 $F(y)=0$，并且 $F'(t)=x-\frac 1t\le 0$。
第二问
即证 $c > \ln b+1 > a$，补写为 $c > b > \ln b+1>a$，故只需证对于 $f(x,y)=0,x,y\in [\frac 12,1)$，有 $1>y>x$。
那么只需证 $F(x) > 0$。
$$F(x)=x^2-x\ln x-\ln x -1=x(x-\ln x)-\ln x-1>x-\ln x-1>1-1=0$$
用到了二级结论 $x>\ln x+1$。
第三问
原来要证明的 $c\geq \frac{(\ln b+1)+1}2$ 可以写成 $y\geq \frac {\ln x+2}2$。
问题转换为：已知 $x,y\in [\frac 12,1],f(x,y)=0$，证明 $y\geq \frac {\ln x+2}2$。
接下来，欲证 $y\ge \frac{\ln x+2}2$，只需 $F(\frac{\ln x+2}2)\ge 0$，代入可得即证
$$\frac{x(\ln x+2)}{2}-x\ln x-\ln \frac{\ln x+2}2-1\ge 0$$
令 $t = \ln x,t\in[-\ln 2,0]$，那么即证
$$\frac{e^t(t+2)}2-e^tt-\ln \frac{t+2}2-1\ge0\\ (1-\frac 12t)e^t-\ln \frac{t+2}2-1\ge 0$$
令 $G(t)=(1-\frac 12t)e^t-\ln \frac{t+2}2-1$，那么
$$G'(t)=(\frac 12-\frac 12t)e^t-\frac 1{t+2}\\ G''(t)=-\frac 12te^t+\frac1{(t+2)^2}$$
由于 $t\le 0$，故 $G''(t)>0$，故 $G'(t)$ 单增，又 $G'(0)=0$，故 $G'(t)$ 在 $[-\ln 2,0]$ 上为负，故 $G(t)$ 此时单减，又 $G(0)=0$，故此时 $G(t)>0$，故 $F(\frac{\ln x+2}2)>0$，故 $y\ge \frac{\ln x+2}2$，故 $c\ge \frac{\ln b+2}2$，后面的就和标准做法一样了。