（刷 B 站看到好多人直接建系，感觉麻烦了，故分享个几何做法，不知道对不对）

取 PC 的中点 H，将 $\triangle PEF,\triangle PEG$ 看作 $\triangle PEH$ 绕 $AP$ 旋转得到的，那么 $F,G$ 的运动轨迹是以 $E$ 为圆心，$1$ 为半径的一个圆。设 $AC$ 中点 $O$，那么 $PO$ 与 $FG$ 的交点一定在圆的弦上。欲求 $\cos \theta$ 最小，即 $FG$ 最小，而该点同时是 $\triangle APC$ 中的一个定点，它到 $E$ 的距离可求（昨天算的，忘了是多少了），问题转化为已知弦上一点到圆心的距离，求弦长最短，肯定垂直时取到，答案也是 $-\frac79$。