题面 (1) 已知 $a \geq \frac{1}{2}$，函数 $f(x) = (1 - ax)(e^x - 1) - x$。证明：当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq 0$； (2) 设函数 $g(x) = \ln(ex)$ 与 $h(x) = e^{x-1}$ 的图象分别为 $C_1$, $C_2$。点 $A_n(a_n, \…
已知 $f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$，且 $f(x)$ 有三个不同的零点 $x_1,x_2,x_3$。求证：$\frac1{f'(x_1)}+\frac1{f'(x_2)}+\frac1{f'(x_3)}=0$。 正常的基于根的做法如下： 令 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$，则 $f’(x)=(x-x…
已知整系数多项式 $f(x)=x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^4+a_4x+a_5$，若 $f(\sqrt 3 + \sqrt 2)=0,f(1)+f(3)=0$，则 $f(-1)=$？ 答案如下： 令 $x_0=\sqrt 3+\sqrt 2$，则 $(x_0-\sqrt 3)^2=(\sqrt 2)^2$，则 $12x_0^2=(…
已知 $\triangle ABC$，求证，对平面内任意一点 $P$，有：$PA^2+PB^2+PC^2\ge GA^2+GB^2+GC^2$（$G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心）。 也是《高中数学培优笔记》上的例题，不过如果用向量证明的话会更加简单（书上是在三角形章节讲的该题，所以没有采用向量解法）。 首先，容易证明 $\over…
（《高中数学培优笔记》第一章习题5）已知 $a,b,c>0$，求 $B=\max(x,\frac1y)+\max(y,\frac2z)+\max(z,\frac 3x)$ 的最小值。 这道题书上的答案大致意思如下： 注意到 $B \ge x+\frac2z+\frac{2z}5+\frac9{5x}\ge\frac6{\sqrt5}+\frac4{…
一、前言 极值点偏移有如下表述（源于《高中导数进阶教程》）： 设 x2>x1x_2 > x_1x2>x1，若 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [x1,x2][x_1,x_2][x1,x2] 上连续，且在开区间 (x1,x2)(x_1,x_2)(x1,x2) 可至少三次导，令 f′(ξ)=f(x2)−f(x1)x2−x1f'(\xi)…